Lógica Cuantificacional

CUANTIFICADORES LÓGICOS               Una Variable

También llamados Cuantores son los símbolos que determinan la cantidad de una proposición categórica y son de dos tipos:

EQUIVALENCIAS LOGICAS 


Equivalencias entre cuantificadores con un predicado (una variable).

• ~ (∀x(Px)) ≡ ∃ x(~Px)
• ~ (∃x(Px)) ≡ ∀x(~Px)
• ∃x(Px)  ≡ ~[∀x(~Px)]
• ~(∃x(~Px)) ≡ ∀x(Px)


EJERCICIO RESUELTO             (Una Variable)

1. Hallar los valores de verdad de las negaciones de las proposiciones siguientes:

p : ∀ x ∈ N:  x² > x
q : ∀ x ∈ Z:  x + 1 > x
r : ∃ x ∈ R:  x² = x

a) FFF      b) FVF      c) FVV      d) VFF       e) VVF

Del enunciado se tiene:

p :  ∀ x ∈ N: x² > x                                                 q .  ∀ x ∈ Z: x + 1 > x

~p :  ~ [ ∀ x ∈ N:  x² > x ]                                      ~q .  ~ [ ∀ x ∈ Z:  x + 1 > x ]
~p :  ∃ x ∈ N: ~( x² > x )                                         ~q .   ∃ x ∈ Z: ~( x + 1 > x )
~p :  ∃ x ∈ N: x² ≤ x                                                ~q .  ∃ x ∈ Z: x + 1 ≤ x

        x = 1 ∈ N ⇒ 1² ≤ 1                                         x = -5 ∈ Z: -5 + 1 ≤ -5
                                  V                                                               - 4 ≤ -5
                                                                                                              F
 

r :   ∃ x ∈ R:  x² = x

~ r :   ~ [ ∃ x ∈ R:  x² = x ]
~ r :   ∀ x ∈ R: ~( x² = x)
~ r :   ∀ x ∈ R: x² ≠ x
          x = 1 ∈ R ⇒ 1² ≠ 1
                                       F
     
Respuesta:   d) VFF




 CUANTIFICADORES LÓGICOS:      Dos Variables  

Una Proposición de dos variables es de la forma: P(x, y) en el cual existen 8 posibilidades de determinar:

• ∀x ∀y [P(x, y)]
• ∀y ∀x [P(x, y)]
• ∃x ∃y [P(x, y)]
• ∃y ∃x [P(x, y)]
• ∃x ∀y [P(x, y)]
• ∃y ∀x [P(x, y)]
• ∀x ∃y [P(x, y)]
• ∀y ∃x [P(x, y)]


EQUIVALENCIAS LOGICAS  

Equivalencias entre cuantificadores con dos predicados (dos variable).

•   ∀x ∀y [P(x, y)]           ≡    ∀y ∀x [P(x, y)]
•   ∃x ∃y [P(x, y)]             ≡    ∃y ∃x [P(x, y)]
•   ~ {∀x ∀y [P(x, y)]}    ≡    ∃x ∃y ~[P(x, y)]
•   ~ {∀x ∃y [P(x, y)]}     ≡    ∃x ∀y ~[P(x, y)]
•   ~ {∃x ∃y [P(x, y)]}      ≡    ∀x ∀y ~[P(x, y)]  


EJERCICIO RESUELTO      (Dos Variables)  

1. Si A = { 1, 2, 3} Determinar el valor de verdad de:

i.   ∃x, ∃y: x² < y +1
ii.  ∀x, ∀y: x² + y² < 12
iii. ∀x, ∃y: x² + y²< 12

a) FFV       b) FFF       c) VVF       d) VFV        e) FVF  

Del enunciado se tiene:

i. ∃x, ∃y:               x² < y +1                       ii.   ∀x, ∀y:             x² + y² < 12
    x = 1; y = 2           1² < 2 +1                            x = 2; y = 3           2² + 3² < 12
                                  1 < 3                                                                4 + 9 < 12  
                                    V                                                                       F 
 

iii. ∀x, ∃y:        x² + y²< 12
        y = 1          x² + 1² < 12
                          x² < 11
                             V    

Respuesta:   d) VFV   

x